一、前言

在高等数学的学习中，方向导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点沿着某一方向的变化率。本文将通过典型例题讲解如何计算方向导数，并总结解题思路与技巧，帮助大家掌握这一类题型的解法。

二、基本概念回顾

1. 方向导数定义

设函数 f(x,y,z)f(x, y, z)f(x,y,z) 在点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)P0​(x0​,y0​,z0​) 处可微，单位向量 l⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)l=(cosα,cosβ,cosγ) 表示一个方向，则函数在该点沿方向 l⃗\vec{l}l 的方向导数定义为：

∂f∂l∣(x0,y0,z0)=∇f(x0,y0,z0)⋅l⃗=fx(x0,y0,z0)cos⁡α+fy(x0,y0,z0)cos⁡β+fz(x0,y0,z0)cos⁡γ

\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)} = \nabla f(x_0, y_0, z_0) \cdot \vec{l} = f_x(x_0, y_0, z_0)\cos\alpha + f_y(x_0, y_0, z_0)\cos\beta + f_z(x_0, y_0, z_0)\cos\gamma

∂l∂f​​(x0​,y0​,z0​)​=∇f(x0​,y0​,z0​)⋅l=fx​(x0​,y0​,z0​)cosα+fy​(x0​,y0​,z0​)cosβ+fz​(x0​,y0​,z0​)cosγ

其中：

∇f=(fx,fy,fz)\nabla f = (f_x, f_y, f_z)∇f=(fx​,fy​,fz​) 是梯度；l⃗\vec{l}l 必须是单位向量。

注意：如果给出的方向不是单位向量，需要先将其单位化！

三、典型例题解析

例题1：

设函数 f(x,y)=x2+xy+y3f(x, y) = x^2 + xy + y^3f(x,y)=x2+xy+y3，求函数在点 (1,−1)(1, -1)(1,−1) 沿方向 l⃗=(3,4)\vec{l} = (3, 4)l=(3,4) 的方向导数。

解题步骤：

步骤1：计算偏导数

fx=2x+yfy=x+3y2

f_x = 2x + y \\

f_y = x + 3y^2

fx​=2x+yfy​=x+3y2

代入点 (1,−1)(1, -1)(1,−1) 得：

fx(1,−1)=2(1)+(−1)=1fy(1,−1)=1+3(−1)2=1+3=4

f_x(1, -1) = 2(1) + (-1) = 1 \\

f_y(1, -1) = 1 + 3(-1)^2 = 1 + 3 = 4

fx​(1,−1)=2(1)+(−1)=1fy​(1,−1)=1+3(−1)2=1+3=4

步骤2：单位化方向向量

给定方向 l⃗=(3,4)\vec{l} = (3, 4)l=(3,4)

模长：∣l⃗∣=32+42=5|\vec{l}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5∣l∣=32+42​=5

单位向量为：l⃗0=(35,45)\vec{l}_0 = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)l0​=(53​,54​)

步骤3：计算方向导数

∂f∂l=fx⋅cos⁡α+fy⋅cos⁡β=1⋅35+4⋅45=35+165=195

\frac{\partial f}{\partial l} = f_x \cdot \cos\alpha + f_y \cdot \cos\beta = 1 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} + \frac{16}{5} = \frac{19}{5}

∂l∂f​=fx​⋅cosα+fy​⋅cosβ=1⋅53​+4⋅54​=53​+516​=519​

答案：

函数在点 (1,−1)(1, -1)(1,−1) 沿方向 (3,4)(3, 4)(3,4) 的方向导数为：

195

\boxed{\frac{19}{5}}

519​​

例题2：

求函数 z=x2+y2z = x^2 + y^2z=x2+y2 在点 (1, 2) 处沿着从点 (1, 2) 到点 (2, 2 + √3) 方向的方向导数。

解题步骤：

步骤1：确定方向向量

首先，我们需要找到从点 (1, 2) 到点 (2, 2 + √3) 的方向向量。

起点坐标为 P1(1,2)P_1(1, 2)P1​(1,2)终点坐标为 P2(2,2+3)P_2(2, 2 + \sqrt{3})P2​(2,2+3​)

方向向量 v⃗\vec{v}v 可以表示为：

v⃗=(x2−x1,y2−y1)=(2−1,(2+3)−2)=(1,3) \vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2 - 1, (2 + \sqrt{3}) - 2) = (1, \sqrt{3}) v=(x2​−x1​,y2​−y1​)=(2−1,(2+3​)−2)=(1,3​)

步骤2：单位化方向向量

接下来，我们需要将方向向量 v⃗\vec{v}v 单位化。计算其模长：

∣v⃗∣=12+(3)2=1+3=4=2 |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ∣v∣=12+(3​)2​=1+3​=4​=2

因此，单位向量 u⃗\vec{u}u 为：

u⃗=(12,32) \vec{u} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) u=(21​,23​​)

步骤3：计算偏导数

现在我们来计算函数 z=x2+y2z = x^2 + y^2z=x2+y2 在点 (1, 2) 处的偏导数。

对 xxx 的偏导数 fxf_xfx​：

fx=∂z∂x=2x f_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x fx​=∂x∂z​=2x

在点 (1, 2) 处：

fx(1,2)=2⋅1=2 f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 = 2 fx​(1,2)=2⋅1=2

对 yyy 的偏导数 fyf_yfy​：

fy=∂z∂y=2y f_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2y fy​=∂y∂z​=2y

在点 (1, 2) 处：

fy(1,2)=2⋅2=4 f_y(1, 2) = 2 \cdot 2 = 4 fy​(1,2)=2⋅2=4

步骤4：计算方向导数

最后，根据方向导数的定义：

Du⃗f(1,2)=fx(1,2)⋅ux+fy(1,2)⋅uy D_{\vec{u}}f(1, 2) = f_x(1, 2) \cdot u_x + f_y(1, 2) \cdot u_y Du​f(1,2)=fx​(1,2)⋅ux​+fy​(1,2)⋅uy​

代入已知值：

Du⃗f(1,2)=2⋅12+4⋅32=1+23 D_{\vec{u}}f(1, 2) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} Du​f(1,2)=2⋅21​+4⋅23​​=1+23​

答案：

函数 z=x2+y2z = x^2 + y^2z=x2+y2 在点 (1, 2) 处沿着从点 (1, 2) 到点 (2, 2 + √3) 方向的方向导数为：

1+23 \boxed{1 + 2\sqrt{3}} 1+23​​

例题3：

【例3】 函数 f(x,y,z)=xyz+x−y+2zf(x, y, z) = xyz + x - y + 2zf(x,y,z)=xyz+x−y+2z，则 f(x,y,z)f(x, y, z)f(x,y,z) 在点 P0(1,1,2)P_0(1, 1, 2)P0​(1,1,2) 处沿方向 T⃗=(2,−2,1)\vec{T} = (2, -2, 1)T=(2,−2,1) 的方向导数为 ______.

解题步骤：

步骤1：计算偏导数

对 xxx 的偏导数 fxf_xfx​：

fx=yz+1 f_x = yz + 1 fx​=yz+1

在点 (1,1,2)(1, 1, 2)(1,1,2) 处：

fx(1,1,2)=1⋅2+1=3 f_x(1, 1, 2) = 1 \cdot 2 + 1 = 3 fx​(1,1,2)=1⋅2+1=3

对 yyy 的偏导数 fyf_yfy​：

fy=xz−1 f_y = xz - 1 fy​=xz−1

在点 (1,1,2)(1, 1, 2)(1,1,2) 处：

fy(1,1,2)=1⋅2−1=1 f_y(1, 1, 2) = 1 \cdot 2 - 1 = 1 fy​(1,1,2)=1⋅2−1=1

对 zzz 的偏导数 fzf_zfz​：

fz=xy+2 f_z = xy + 2 fz​=xy+2

在点 (1,1,2)(1, 1, 2)(1,1,2) 处：

fz(1,1,2)=1⋅1+2=3 f_z(1, 1, 2) = 1 \cdot 1 + 2 = 3 fz​(1,1,2)=1⋅1+2=3

步骤2：单位化方向向量

给定方向 T⃗=(2,−2,1)\vec{T} = (2, -2, 1)T=(2,−2,1)

模长：∣T⃗∣=22+(−2)2+12=4+4+1=9=3|\vec{T}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3∣T∣=22+(−2)2+12​=4+4+1​=9​=3

单位向量为：u⃗=(23,−23,13)\vec{u} = \left(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\right)u=(32​,3−2​,31​)

步骤3：计算方向导数

根据方向导数的定义：

∂f∂T⃗∣(1,1,2)=fx(1,1,2)⋅23+fy(1,1,2)⋅−23+fz(1,1,2)⋅13 \frac{\partial f}{\partial \vec{T}}\Big|_{(1, 1, 2)} = f_x(1, 1, 2) \cdot \frac{2}{3} + f_y(1, 1, 2) \cdot \frac{-2}{3} + f_z(1, 1, 2) \cdot \frac{1}{3} ∂T∂f​​(1,1,2)​=fx​(1,1,2)⋅32​+fy​(1,1,2)⋅3−2​+fz​(1,1,2)⋅31​

代入已知值：

∂f∂T⃗∣(1,1,2)=3⋅23+1⋅−23+3⋅13=2−23+1=73 \frac{\partial f}{\partial \vec{T}}\Big|_{(1, 1, 2)} = 3 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot \frac{-2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{3} ∂T∂f​​(1,1,2)​=3⋅32​+1⋅3−2​+3⋅31​=2−32​+1=37​

答案：

函数 f(x,y,z)=xyz+x−y+2zf(x, y, z) = xyz + x - y + 2zf(x,y,z)=xyz+x−y+2z 在点 P0(1,1,2)P_0(1, 1, 2)P0​(1,1,2) 处沿方向 T⃗=(2,−2,1)\vec{T} = (2, -2, 1)T=(2,−2,1) 的方向导数为：

73 \boxed{\frac{7}{3}} 37​​

四、拓展：三维空间中的方向导数

对于三元函数 f(x,y,z)f(x, y, z)f(x,y,z)，其在点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0​,y0​,z0​) 沿单位向量 l⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)l=(cosα,cosβ,cosγ) 的方向导数为：

∂f∂l=fxcos⁡α+fycos⁡β+fzcos⁡γ

\frac{\partial f}{\partial l} = f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta + f_z \cos\gamma

∂l∂f​=fx​cosα+fy​cosβ+fz​cosγ

同样需要注意方向是否已单位化。

五、常见错误提醒

方向未单位化：很多同学容易忽略这一点，导致结果错误。偏导数计算错误：建议逐步写出每个偏导数再代入值。方向向量顺序搞混：如误将 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z) 写成 (y,x,z)(y, x, z)(y,x,z)。

六、小结

类型方法平面函数偏导+单位方向向量点积空间函数偏导+单位方向向量点积关键点单位化方向向量、准确求偏导

七、练习题推荐

求函数 f(x,y)=exyf(x, y) = e^{xy}f(x,y)=exy 在点 (0,1)(0, 1)(0,1) 沿方向 (1,1)(1, 1)(1,1) 的方向导数。设 f(x,y,z)=xyzf(x, y, z) = xyzf(x,y,z)=xyz，求其在点 (1,2,3)(1, 2, 3)(1,2,3) 沿方向 (2,−1,2)(2, -1, 2)(2,−1,2) 的方向导数。

八、参考资料

同济大学《高等数学》（第七版）MIT OpenCourseWare: Multivariable CalculusCSDN博客相关文章

九、结语

方向导数作为多元函数微分学的重要内容之一，不仅出现在考试中，也广泛应用于物理、工程等领域。希望大家通过本文能够更好地理解并掌握这类题型的解法。

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