施密特分解

我在学习施密特分解时还是不小心绕了些弯的【谢罪】，现在用简单的话解释一下什么时施密特分解。

施密特分解Schmidt Decomposition 是处理2bit量子态的一个有效的工具。数学表述如下: ∀ ∣ ψ ⟩ ∈ H 2 ∣ ψ ⟩ = ∑ i ∣ i ⟩ A ∣ i ⟩ B , 其 中 ， { ∣ i ⟩ A } 和 { ∣ i ⟩ B } 是 各 自 空 间 的 正 交 归 一 化 的 态 \forall |\psi\rang \in \mathcal{H_2}\\ |\psi\rang = \sum_i |i\rang_A|i\rang_B,\\ 其中，\{|i\rang_A\}和\{|i\rang_B\}是各自空间的正交归一化的态 ∀∣ψ⟩∈H2​∣ψ⟩=i∑​∣i⟩A​∣i⟩B​,其中，{

∣i⟩A​}和{

∣i⟩B​}是各自空间的正交归一化的态 如何理解上述的表述呢？我们不妨举一个例子： 对于一个态： ∣ ψ ⟩ = 2 / 4 ∣ 00 ⟩ + 2 / 4 ∣ 01 ⟩ + 6 / 4 ∣ 10 ⟩ − 6 / 4 ∣ 11 ⟩ = 1 / 2 ∣ 0 ⟩ ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 + 3 / 2 ∣ 1 ⟩ ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) / 2 = 1 / 2 ∣ 0 ⟩ ∣ + ⟩ + 3 / 2 ∣ 1 ⟩ ∣ − ⟩ \begin{aligned} |\psi\rang &= \sqrt{2}/4|00\rang+\sqrt{2}/4|01\rang+\sqrt{6}/4|10\rang-\sqrt{6}/4|11\rang\\ &= 1/2|0\rang(|0\rang+|1\rang)/\sqrt{2}+\sqrt{3}/2|1\rang(|0\rang-|1\rang)/\sqrt{2}\\ &=1/2|0\rang|+\rang+\sqrt{3}/2|1\rang|-\rang \end{aligned} ∣ψ⟩​=2

​/4∣00⟩+2

​/4∣01⟩+6

​/4∣10⟩−6

​/4∣11⟩=1/2∣0⟩(∣0⟩+∣1⟩)/2

​+3

​/2∣1⟩(∣0⟩−∣1⟩)/2

​=1/2∣0⟩∣+⟩+3

​/2∣1⟩∣−⟩​ 显然， ∣ 0 ⟩ & ∣ 1 ⟩ |0\rang\&|1\rang ∣0⟩&∣1⟩ 和 ∣ + ⟩ & ∣ − ⟩ |+\rang\&|-\rang ∣+⟩&∣−⟩ 在各自空间中是正交的。 因此，我们得到了两个非常重要的点：

用了同一个指标 i i i 去表示. 对于如上表示的任意态总是可以用两个指标表示的：

∣ ψ ⟩ = ∑ i μ α i μ ∣ i ⟩ A ∣ μ ⟩ B |\psi\rang = \sum_{i\mu} \alpha_{i\mu}|i\rang_A|\mu\rang_B ∣ψ⟩=∑iμ​αiμ​∣i⟩A​∣μ⟩B​.

但是，经过处理，也可以用一个指标去表示： ∣ ψ ⟩ = ∑ i ∣ i ⟩ A ∣ i ~ ⟩ B |\psi\rang=\sum_i |i\rang_A|\tilde{i}\rang_B ∣ψ⟩=∑i​∣i⟩A​∣i~⟩B​.

只需要令 ∣ i ~ ⟩ = ∑ μ α i μ ∣ μ ⟩ B |\tilde{i}\rang = \sum_\mu \alpha_{i\mu}|\mu\rang_B ∣i~⟩=∑μ​αiμ​∣μ⟩B​ 即可。至于用同一个指标i是否意味着这两个子空间的维数必须相同，其实可以不必。

分解的态在各自自空间中是正交归一的。 第一点中使指标统一的做法并不能够使得在B空间中的态是正交的。因此，施密特分解的重点就在于：如何找到同时在各自空间都正交的基来表达目标态。换句话说，问题的核心在于“正交”而不是一眼看到的同一个指标。

我们如何做呢？首先我们用矩阵，把态重新写一下，比如： ∣ ψ ⟩ = 7 / 5 ∣ 00 ⟩ − 1 / 5 ∣ 01 ⟩ − 1 / 5 ∣ 10 ⟩ + 7 / 5 ∣ 11 ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ ∣ 1 ⟩ ) ( 7 / 5 − 1 / 5 − 1 / 5 7 / 5